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《機器人自動化：建模、仿真與控製》一一2.4習題

2.4習題
習題21——捕食者獵物係統的向量場
捕食者獵物係統也稱為LotkaVolterra係統，由下式表示：
x·1(t)=(1－x2(t))x1(t)

x·2(t)=(x1(t)－1)x2(t)
狀態變量x1(t)和x2(t)表示捕食者和獵物的數目。例如，x1表示獵物以千計數量，x2表示捕食者以千計數量。即使獵物和捕食者的數目是整數，我們仍假設x1和x2是實數。該狀態方程的二次項表示兩者之間的相互影響。當沒有捕食者時，獵物會以指數形式進行增長。同樣，當沒有獵物時捕食者的數目會減少。
（1）圖24是在網格［0,2］×［0,2］範圍內對應的演化函數的向量場：
f(x)=(1－x2)x1

(x1－1)x2
用這個圖來討論該係統的動力學行為。
（2）也利用該圖，給出平衡點並通過計算進行驗證。

圖24LotkaVolterra係統在(x1, x2)平麵的向量場

圖25狀態向量為x=(x1,x2)T=(θ,θ·)T的單擺

習題22——單擺的向量場
考慮由以下狀態方程描述的單擺：
x·1=x2

x·2=－gsinx1
與演化函數f(x)對應的向量場如圖26所示。
（1）根據圖示，給出平衡狀態的穩定點和不穩定點。
（2）根據歐拉法在圖中畫出單擺的軌跡。

圖26單擺在相平麵(x1,x2)=(θ,θ·)中的向量場

習題23——立方體模式
考慮三維立方體［0,1］×［0,1］×［0,1］。
(1)以矩陣形式給出它的模式。
(2)為了讓它繞著Ox軸旋轉角度θ，如何進行矩陣操作？

習題24——繪製汽車
下麵要設計一個名為voiture_draw(x)的MATLAB函數，用它繪製汽車在狀態x=(x,y,θ,v,δ)T的圖形，其中x, y, θ分別表示汽車的位姿（位置和方向），v表示汽車的速度，而δ是前輪的角度。
1)用齊次坐標定義底盤模式和兩個前輪的共同模式。
2)定義底盤，左前輪和右前輪的變換矩陣。
3)寫出名為car_draw(x)的MATLAB函數，用它繪製出給定狀態x下的小汽車。
習題25——單擺的仿真
考慮由以下差分方程描述的單擺：
θ··=－gsinθl
其中，θ表示單擺的角度，g=981ms-2，l=1m。在時刻t=0對單擺初始化，對應的θ=1且θ·=0rad·s-1，然後放開單擺讓其自由運動。編寫一個基於歐拉法的小程序（用類似MATLAB的語法），計算t=1s時單擺的角度。
習題26——Van der Pol係統
考慮由以下差分方程描述的係統：
y··+(y2－1)y·+y=0

1)選擇狀態向量為x=(yy·)T，給出係統的狀態方程。
2)在平衡點附近對係統線性化，求出係統的極點。該係統在平衡點附近是否穩定？
3)係統在狀態空間(x1, x2)的向量場如圖27所示，係統初始化為x0=(010)T，在圖中畫出係統在狀態空間的路徑x(t)，並給出y(t)的形式。

圖27Van der Pol係統的向量場

4)路徑可能是一個環嗎？
5)對該係統進行仿真，選擇歐拉法還是龍格庫塔法可以得到更好的效果，抑或兩者效果相當？

習題27——汽車仿真
考慮由以下狀態方程描述的汽車：
x·

y·

θ·

v·

δ·=vcosδcosθ
vcosδsinθ
vsinδL
u1
u2

給定狀態向量x=(x,y,θ,v,δ)T，汽車初始狀態為x(0)=(00070)T，即在時刻t=0，車輛在原點，方向角為0，速度為7ms-1，且前輪與車軸平行。設控製向量u(t)保持為常量且等於(0 02)T，這意味著車輛不會加速（因為u1=0），同時方向盤以恒定速度02rad·s－1旋轉（因為u2=02）。編寫一個MATLAB程序，要求以001s的采樣步長和歐拉法仿真10s內車輛的動態變化。
習題28——用泰勒法的積分
考慮由下述狀態方程描述的機器人（如坦克）：
x·1
x·2
x·3
x·4
x·5=x4cosx3
x4sinx3
x5
u1
u2
試用泰勒法給出二階積分，其輸入為：
u=u1
u2=cos(t)
sin(t)
習題29——三輪車車輪的半徑
考慮如圖28所示三輪車的三維表示，圖中的小黑點在高度為r的同一水平麵上，空心小圈則在高度為0的同一個水平麵上。

圖28三輪車一個輪子半徑的示意圖

圖中用粗線表示的前輪半徑與水平麵之間的夾角為α。給出x, y, θ, δ, α, L, r的函數和在Ox軸上的半徑（粗線）位置與前輪之間的變換矩陣表達式（用齊次坐標），表達式應為矩陣乘法的形式。
習題210——用MATLAB對三輪車進行三維仿真
圖29中三輪車的驅動程序有兩個控製：前輪的加速度及方向盤的旋轉速度。該係統的狀態變量由位置坐標（後橋中心的坐標（x, y）、三輪車的方向角θ以及前輪的角度δ）和前輪中心的速度v組成。從習題111可知，三輪車的演化方程（與汽車類似）為：

其中，L=3為後橋和前輪中心的距離，狀態向量為x=(x, y, θ, v, δ)T，每個後輪與三輪車軸的距離為e=2m，輪子半徑為r=1m。

圖29用於仿真的三輪車機器人

1)建立三輪車車體的模式，用齊次坐標和Rodrigues公式在3維空間對其進行旋轉和平移。
2)創建tricycle_draw函數，參考圖210，畫出帶有輪子的三輪車的三維圖形。這個函數以狀態向量x作為參數。
3)用速度合成法，計算每個輪子的速度。
4)根據三輪車行駛過程中輪子（對應圖中的編號1到3）的旋轉狀態，增加3個狀態變量α1、α2、α3，分別對應三個輪子的角度，給出係統新的狀態方程，並用MATLAB對該係統進行仿真。

習題211——機械臂
圖211所示的機器人操作手由三個機械臂串聯構成。第一個臂長度為3，可繞Oz軸旋轉。第二個臂長度為2，位於第一個臂的末端，也繞Oz軸旋轉。第三個臂長度為1，位於第二個臂的末端，可繞第二個臂的軸旋轉。該機器人有3個自由度x=(α1, α2, α3)，其中αi表示每個機械臂的角度。選擇單位立方體來表示每個機械臂的基本模式，假設每個機械臂是一個厚度為03的平行六麵體。為了符合機械臂的形式，其模式必須是類似的，用對角陣來表示。其次，為了獲得正確的位置，它還可以進行旋轉和平移。設計一個MATLAB程序對該係統進行仿真，並具有圖中類似的3D顯示。

圖211由三個機械臂構成的機器人操作手

習題212——用MATLAB對熘冰機器人進行仿真和控製
圖212所示的熘冰車有5隻冰鞋，可在結冰的湖麵上滑動［JAU 10］。該係統有兩個輸入：前冰鞋角度β的正切值u1（為了避免奇異點，選擇正切值作為輸入）和夾角為δ的兩個雪橇結合處的轉矩u2。推力僅僅來源於轉矩u2，它與蛇或鰻魚的推力模式相似［BOY 06］。而對u1的控製並不能給係統任何能量。

圖212熘冰機器人

1)證明：係統可以由以下狀態方程描述。

式中，v是前軸中心的速度。這是一個簡化和歸一化模型，為簡化起見，統一選取單位係數（質量、黏性摩擦、軸間距等）。
2)用歐拉法對係統仿真2s，初始狀態為x=(0, 0, 0, 3, 05)T，采樣周期為dt=005s，輸入為u=(1, 0)T，並對結果進行討論。
3)嚐試用仿生學控製該係統，如重現蛇的推進方式，選取u1為以下形式：
u1=p1cos(p2t)+p3
其中,p1是幅度，p2是脈衝，p3是偏差。選取推進轉矩u2為推動力，即δ··u2≥0，δ··u2對應機器人的能量，它被轉換為動能。對該控製進行編程，並且選擇恰當的參數以保證有效的推進，在你的電腦中再現如圖213的兩種行為。

圖213受控熘冰機器人的仿真

4)增加第二個控製環去控製控製器參數pi，使機器人能夠跟蹤一個期望的航向角θ。

最後更新：2017-08-17 12:02:47

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