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數學與大選：選舉結果是對選民意見的反映嗎？
當地時間8日，四年一度的美國總統大選投票將正式舉行。競選“廝殺”數月後，本次民主、共和兩黨“驢象之爭”的代表希拉裏和特朗普，到底誰能最終入主白宮，幾個小時後即將見分曉。
每到大選，美國社會各界就全體總動員。政治家當然是到處拉選票，各大媒體更是評論加民意調查加八卦候選人，各種招數都使出來吸引眼球。連不食人間煙火的數學家也不例外。2008年初的美國數學年會就有一個關於選舉中的數學問題的報告，臨近大選的那一期數學會刊又有一篇相關文章。文章中的一些例子很容易對大眾講清楚，我這裏就把它們整理出來與大家分享。
主要結論是：在競選者實力接近的時候（各方支持者數量差不多），選舉結果隻是對選舉規則的反映，而不一定是對選民意見的反映。
什麼叫對選舉規則的反映？這結論聽起來怎麼有點違背常理。要說清楚這個問題，我們先來看一個例子。
假設有三個候選人A，B，C。11個人來投票，每個投票人列出他們對這三個人的支持程度，也就是給這三個人排一個從支持到不支持的序。結果如下：
如果選舉規則是每人隻選一個人，根據上麵列出的表我們可以看出A會贏。隻選一個人的結果是A＞C＞B（得票依次是5，4，2）。如果選舉規則是每人可以選兩人，然後再從前兩名中挑出得票最多的（相當於初選加複選），我們可以看到其結果是B＞C＞A（得票依次是9，8，5）。這個例子說明，同樣的選民，同樣的意向，因為選舉規則的不同可以得出完全相反的結論。還有一些地方（比如歐洲一些地方的選舉）對意向采用Borda加權（起始於1770年）。
對每個意向表，第一名得兩分，第二名得一分。最後把每個人的得分加起來看誰的分多誰當選。如果對上麵的意向表采用這個Borda加權，我們得出另一個不同的結果C＞B＞A（依次得分是12，11，10）。如果用另外的加權方法，我們還可以得出別的不同結果。
同樣的意向表，不同的加權，到底會產生多少個不同的結果？有定理說：
對N個候選人，存在一個意向表使得不同的加權會產生(N-1)*(N-1)!個不同的結果。
顯然，對加權的限製是前麵的權要大於等於後麵的權。另外還要求最後一名的權是0。在這種條件下，如果有10個候選人（比如美國的總統初選），同樣的意向表可以產生超過三百萬種不同的結果。
有人說數學上證明的存在例子都是人為造出來的特殊情況，實際選舉出現這種特例的機會是不多的。對這些懷疑者正好有另一個定理等在那裏回答。該定理說：
如果有三個候選人，他們的支持度差不多（沒有人有特別大的優勢），則有大於三分之二的可能性（實際數是69％）選舉規則會改變選舉結果。
三分之二可不是一個小數，比一半大多了。也就是說當各方實力接近的時候，選舉規則會改變選舉結果的時候比不會改變結果的時候多一倍。
以2008年的大選為例，如果把全體美國人的意向列一個意向表，我們幾乎可以肯定不同的規則會產生不同的結果。也就是說對這個意向表不同的加權可以產生希拉裏贏，或者奧巴馬贏，或者麥凱恩贏。
這種現象並不隻在選總統的時候出現，在日常生活中也會冒出來，甚至影響到你自己。比如你去麵試一個工作，總共四個麵試者，A，B，C，D。四個人每個人做一個報告。聽報告的一共30個人。聽完報告後這30個給出每人的意向表，結果如下：
假設你是D，根據這個意向表，你就沒有戲了。因為隻有一個位置，所以隻有一個人能得到。按第一票算，其次序是A＞B＞C＞D（得票依次是9，8，7，6）。顯然A勝。正當他們準備打電話通知A麵試成功的時候，C打電話來說他棄權，因為他已經接受了另一個工作。初看起來，C排第三，他的棄權對隻選一個人的結果不會有影響。其實不然，如果你把上麵的意向表中的C都去掉，你會發現結果完全不同了。因為C的7票有2票給了B，5票給了你（D）。最後的結果是D＞B＞A（得票依次是11，10，9）
如此的例子還有很多，單就上麵的這個例子看，任何一個人棄權都會改變結果的次序。對這樣的混亂現象有人用混沌來形容。
最後再回到開始的那句話：在競選人實力差不多的情況下，選舉結果是對選舉規則的反映，而不一定是對選民意向的反映。
原文發布時間為：2016-11-09
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最後更新：2017-06-01 12:02:28