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零
0是一個神奇的數字，這裏簡單介紹一些關於0的特點和性質。
0的性質：
*0是否屬於自然數仍有爭議，數論領域認為0不屬於自然數，集合論和計算機科學領域認為0屬於自然數。國際標準ISO 31-11:1992中，從集合論角度規定：符號N所表示的自然數包括正整數和0。中國國家標準GB 3102-1993參照國際標準作出同樣規定。
*0是平方數。
*0是高斯整數（高斯整數是實數部分（實部）和虛數部分（虛部）都是整數的複數）。
*0是偶數。
*0非正非負，0的相反數和絕對值都是其本身。
*0乘以任何實數都等於0（0*10=0），任何實數加上0等於其本身（x+0=x）。
*0沒有倒數和負倒數，任何數（包括0）除以0無意義。
*0不能做對數的底。
*0的正數次方等於0，0的負數次方無意義（因為分母不可為0）。
*0的0次方目前數學家沒有給予正式的定義，部分領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為1。
*0!定義為1。
*0和任何整數的最大公約數是另一個整數。
*0是任何整數的倍數。
幾點闡述：
1.任何數（包括0）除以0無意義：
證明：（反證法）
假設非零實數除以0成立，於是設有非零實數x，有a=x/0。
從而有x=a*0=0，從而與題設x非零矛盾，從而有假設錯誤。
因此，任何非0實數除以0無意義。
那麼，為什麼0除以0也沒有意義呢？
首先，這裏先闡述一下現實生活中0除以0的無意義：
舉個例子，假設有0塊錢，現在要把這0塊錢均分給0個人，那麼每個人應該分得多少塊錢？
提出這個問題時，不是說這個問題有謬論，而是這個問題本身就沒有意義。對於這個問題，從哲學上說，0個人總共獲得0塊錢，那麼每個人分得的可以是任何數值的錢。為什麼呢？因為這個問題所描述的事件是一件不可能發生的事情，那麼，如果一件不可能發生的事情發生了，這件事情就具有無限的可能性。
這個概念可以結合到香農的信息論，香農認為，一個碼元攜帶的信息量為-log(pi),其中pi為該碼元出現的概率。根據這個公式，pi越小，那麼信息量越大，當pi=0時，攜帶信息量為無限大，也就是說這樣一個事件所帶來的是無限的可能性，有可能是宇宙爆炸等等。既然一件已經認為是不可能發生的事情都發生了，那麼還有什麼事情不會發生呢？因此，0人分0塊錢，每個人可能分得任何數值的錢。
然後，闡述一些關於數學上的概念：
在極限理論中，認為任何非零實數除以0，其結果為無窮大（可能為正無窮大或負無窮大）。
對於0/0，由極限理論，其值可能為任何值。
舉個例子，0/0型洛必達法則：
洛必達法則中有，
設函數f(x)和g(x)滿足：
當x=>oo，lim f(x)=lim g(x)=0；同時f(x)和g(x)均可導。
那麼，就有 lim( f(x)/g(x) ) = lim (f’(x)/g’(x) ) =A。
從這裏，我們可以看出，由於函數f(x)和g(x)的多種可能性，其f’(x)和g’(x)也會有多種可能性，其結果A也會有多種可能性。
即是有，0/0的結果可以為任意值，這是沒有意義的。
2.零是高斯整數：
高斯整數是實數部分（實部）和虛數部分（虛部）都是整數的複數。
證明：
設0 = a + b * j，有 a = b = 0。由0為整數，於是有滿足高斯整數的定義。
3.零是任何整數的倍數：
證明：
設任意整數為a，則有
對於任意非零整數a，有0/a = 0，由於0為整數，從而有0是a的倍數。
而對於a為0的情況，前麵提及過0/0無意義，因此不必考慮。
4.零和任何數的最大公約數是另一個數：
由於前麵有一條準則：0是任何整數的倍數。
所以對於a和0，有0是a的倍數，那麼，a和0的最大公約數自然為a。
0所起的作用
1.零的作用：占位
例如，用十進製表示的1024，其中的0起到了什麼作用呢？1024的0，表示百位“沒有”。雖說沒有，但是這個0不能省略，因為如果省略了0，寫成124，那就變成了另一個數了。
在按位計數法中，數位具有很重要的意義。即使百位的數“沒有”，也不能不寫數字。這時就輪到0出場了，即0的作用就是占位。換言之，0占著一個位置以保證數位高於它的數字不會產生錯位。
正因為有了表示“沒有”的0，數值才能正確地表現出來，可以說在按位計數法中0是不可或缺的。
2.零的作用：表示“沒有”
我們需要用一個數字來表示“無”、“沒有”。0在其本身的定義中就是“沒有”與“無”。
一方麵，0代表了自然界中物質存在的一種狀態——無，這種狀態咋看沒有意義，但是其作為“有”的補充，其代表著自然界的普遍規律：有無相生。
另一方麵，正是0所代表的“沒有”這種狀態，它能夠很好地描述我們所接觸到的“沒有”，讓“沒有”能夠以“0”的方式存在於“有”的世界中。
日常生活中的0
在我們的日常生活中，有時也會遇到像0那樣表示“沒有”的情況。
*沒有計劃的計劃
我們常常使用日程表來管理計劃。在日程表中填入“案頭工作”、“出差”、“研討會”等計劃。那麼，和“0”相當的計劃是什麼呢？
通常情況下，如果我們在某一天沒有上麵所提及的什麼“研討會”的日程計劃，此時，所有的時間都是有自己支配，所以現在自己處於沒有安排的情景之下，在這種情況下，我們可以用0來表示沒有安排與計劃，0就相當於空計劃，日程表中沒有任何安排，是空著的，就是0。
在這裏，0所起到的作用也是一種占位的作用。
*沒有藥效的藥
假設現在必須有規律的服用某一種膠囊，每四天停用一次，也就是3天服用，1天停用。但是對於這樣一種周期進行循環是很有難度的。
靈機一動，妙法自然來。那就是每天都吃藥。隻是，每4粒膠囊中有一粒是“沒有藥效”的假膠囊。事先準備好標有日期的盒子，並在其中放入每天需要服用的藥，不是更好嗎？
這樣一來，就無需判斷“今天是服藥日還是停藥日”了。正因為有了“沒有”藥效的藥，才形成了“每天服用一粒膠囊”的簡單規則。在這裏，0的作用依然是占位的作用。
最後更新：2017-04-03 05:40:03