數學怪才埃爾德什

         數學家是將咖啡轉變成定理的機器。

——埃爾德什

埃爾德什是20世紀世界上最偉大的數學家之一，無疑也是最古怪獨特的數學家之一。

出生於數學人才輩出的匈牙利，科學精英薈萃的猶太家庭。埃爾德什從小就有神童之稱，17歲發表數學論文，一生中與四百五十多人合作，發表了1500篇著作論文。埃爾德什一生命運多舛，身為猶太人，遭納粹迫害，不得不亡命國外，50年代因與華羅庚通信而被懷疑通共親華，被美國麥卡錫主義者趕出美國，從此終生漂泊浪跡天涯，埃爾德什終身未娶，沒有固定職業，但他把一身獻給了科學事業，他一天工作十八九個小時，一年四季奔波於世界各地，與數學界同行探討數學難題，埃爾德什的大腦裏整天裝滿了數學問題、定理、猜想、證明。

 匈 牙 利 神 童

1913年3月26日，埃爾德什出生在多瑙河畔的布達佩斯，就像愛爾蘭作家喬伊斯（J.Joyce）的小說《尤利西斯》的主人公布盧姆一樣，雙親都是匈牙利猶太人。雖然以色列奉行的對外政策長期以來並不被世界人民所一致接納，可是猶太人在經濟、科學、文化和藝術領域的傑出貢獻卻是有目共睹的。僅僅在匈牙利科學界，20世紀就有馮·諾伊曼(J.vonNeumann)，數字計算機和博弈論的發明者；特勒(E.Teller)，氫彈之父；馮·卡門(T.von Kármán)，超音速飛機之父；赫維希(G.de Hevesy)，同位素跟蹤技術的發明者。在藝術領域，則湧現出了鋼琴家索爾蒂(G.Solti)和塞爾(G.Szell)，指揮家多拉蒂(A.Dorati)和奧曼迪(E.Ormandy)，作曲家巴托克(B.Bartok)和柯達裏(Z.Kodály)，設計大師莫霍伊-納吉(L.Moholy-Nagy)、娛樂業巨子福克斯(W.Fox)、製片人克迪斯(M.Kurtisz)和電影導演祖可(A.Zukor)等， 以至於有人戲稱布達佩斯為“猶達佩斯”(Judapest)。

 

埃爾德什的父母是帕茲馬尼大學數學係的同學，婚後父親在一所中學裏任教。其時在奧匈二元君主政體統治了半個世紀以後，匈牙利的經濟和文化業已達到了輝煌的頂點。就在他的母親住進醫院準備分娩的時候，一場可怕的猩紅熱席卷了布達佩斯。等到她帶著保羅從醫院回到家裏，他的兩個姐姐已經死去，傷心透頂的雙親便將他們全部的愛與精力都傾注到這個灰眼睛的男孩身上。當保羅剛滿三個月，奧匈帝國王儲斐迪南（F.Ferdinand）在薩拉熱窩遇刺身亡，引發了第一次世界大戰。奧匈帝國向塞爾維亞宣戰，緊接著俄國也卷了進來，向奧匈帝國宣戰。這場戰爭意味著匈牙利黃金時代的結束。保羅的父親應征入伍，他很快就被俄軍俘虜，在西伯利亞度過了六年的鐵窗生活。

 

這一情景使我想起19世紀中葉，匈牙利詩人裴多菲（S.Petofi）也被俄軍所俘，七年後因患肺結核死於西伯利亞。所幸老埃爾德什從西伯利亞集中營活過來了，當他返回布達佩斯時，保羅已是一個漂亮的小男孩，他的猶太式家庭教育也開始了。數學當然是核心課程，但外語也有著同等重要的地位。除了德語以外，父親把在西伯利亞為驅散嚴寒和饑餓學會的法語和英語也傳授給他。可是，與幾乎所有的匈牙利人一樣，埃爾德什的英語帶有濃厚的口音，對這一點我本人記憶猶新，據說所有有關埃爾德什的紀錄片都對他的講話配上了字幕。作為一名中學教師，埃爾德什的父親所能教給兒子的自然是有關整數性質的數論知識，尤其那些被稱作是“原子”的素數。而埃爾德什本人也和大多數數學神童一樣，對素數發生了無法驅散的興趣，從歐幾裏得《幾何原本》裏提到的素數有無窮多個，直到包括孿生素數猜想在內的兩個相鄰素數之間的間隔。

 

與大多數神童一樣，埃爾德什的生活能力並不強，11歲那年，他終於學會了自己係鞋帶，第一次進了學校，並且一下子就上了六年級。盡管學校裏嚴格的課堂紀律使埃爾德什的心智受到了壓抑，他的成績仍在班裏名列前茅，唯一沒有取得A的科目是繪畫。當時他最喜歡的課是曆史，並且終生保持了這一愛好。促使埃爾德什把興趣轉向數學的是一本叫《中學數學》的雜誌，那上麵提供一些挑戰性的題目，並且把優勝者的照片刊登其上。這些問題有許多是數論領域的，父親先期教育的效應得以顯示出來，小埃爾德什的照片很快被刊登出來，這份雜誌一直伴隨著他讀完中學。盡管當時反猶主義猖獗，“名額控製法”將猶太人的大學入學率限製在總數的6%，埃爾德什仍被布達佩斯大學錄取，在那裏他遇到了不少從前在雜誌上見到過的模煳麵孔，埃爾德什的數學之舟開始揚帆了。

 

求 學 英 倫

1934年9月，年僅21歲的埃爾德什登上了火車，第一次離開了匈牙利，這是他無數次數學之旅中的頭一回。此前幾個月，他剛剛在雙親的母校——帕茲馬尼大學獲得了博士學位，英國的曼徹斯特大學向他提供了一筆100英鎊的獎學金。可是，埃爾德什並不能享受旅途的愉快，相反，他感到有些疲憊，甚至不知道如何在火車上對付一日三餐及其他瑣事。唯有數學技藝的交流給他帶來樂趣，路過瑞士他第一次敞開了大腦，在蘇黎世拜訪了一位數學家。10月1日早晨，埃爾德什永遠記著這一天，他乘坐的火車抵達劍橋，來不及參觀這所舉世聞名的大學城，他又一次敞開了大腦，與兩位前來迎接的數學同行來到三一學院作長時間的學術探討。然後，他們在一起共進午餐，同行們這才發現，埃爾德什還從來不會在麵包片上塗抹黃油。

在對劍橋大學作了短促的訪問以後，埃爾德什繼續坐火車來到曼徹斯特。這座如今以足球聞名於世的城市，那時還隻獲得過兩次甲級聯賽冠軍和一次足總杯冠軍，並且這個成績也是在上個世紀初取得的。可是，曼徹斯特大學的數學研究中心卻早已名聲在外，由於歐洲大陸日漸上升的緊張氣氛，它吸引了眾多的外國訪問者前來講學或合作研究。事實上，當時歐洲大陸的知識分子還沒有想要移民到大西洋彼岸的美國，曼大數學係主任莫德爾（L.Mordell）教授本人就是個美國人，他中學畢業後好不容易才湊足路費來到英倫求學，經過刻苦的奮鬥成為知名的數論學家。以莫德爾命名的猜想的解決最終導致了費馬大定理的證明，並且在後麵那個證明得到確認之前，前一項工作一直被認為是上個世紀數論領域所取得的最重要成就。

 

在曼徹斯特逗留期間，埃爾德什和一位德國數學家以及莫德爾的中國學生柯召合作撰寫過一篇組合理論方麵的論文，包括著名的埃爾德什-柯-拉多定理。可是，由於當時的數學界對組合理論缺乏興趣，這項工作遲至1961年才得以發表，立時成為一篇經典文獻。柯召先生是我的老鄉，他剛剛謝世，在他80歲生日的宴會上，我們曾在成都用地道的浙江方言做過交談。柯召在曼徹斯特取得博士學位後返回祖國，一直在四川大學和重慶大學執教，埃爾德什第一次來中國正是應他的邀請，他和華羅庚作為僅有的兩位數論學家同時當選為中國科學院的首批學部委員。

 

在英倫的四年期間，埃爾德什並不滿足於待在一座城市，事實上，他幾乎沒有連續一個星期在同一張床上睡過覺，總是敞開著大腦，穿梭於曼徹斯特、劍橋、布裏斯托爾、倫敦或其他大學城之間。那個時候，青年埃爾德什的工作已顯露出獨特的個性：遊戲、靈敏和原創。例如，他猜想，一個正方形可以分割成若幹個大小不等的正方形，直到40多年以後，才有人證明了這些小正方形的最少個數為21。而在二次大戰期間，有一位叫塔特（W. Tutte）的英國青年，就因為研究埃爾德什的這個猜想取得成績而被推薦去參與一項秘密的軍事計劃。結果他們找對了人，塔特成功地破譯了德國潛水艇艇長們發出的電碼，使得盟軍順利截獲和搗毀了敵方的物質供應船隻，從而大大縮短了戰爭的進程，這大概是英國邀請埃爾德什訪問獲得的最好報償。  

 

奇 異 的 旅 行 者

1929年10月24日，紐約股票出現勐跌的那個黑色星期一，導致了長達十年之久的全球經濟大恐慌，直到第二次世界大戰爆發後，在戰爭的刺激下才有所恢複。就在那個黑色星期一到來前一個多月，美國第四大零售連鎖店班伯格（Bamberger）公司的老板，憑著敏銳的洞察力，把公司轉讓了出去。此後，或許是出於內疚的心理，班伯格兄妹拜訪了著名的教育家弗萊克斯納（A.Flexner）醫生，後者建議他們放棄捐獻一座醫學院的衝動。如同畢達哥拉斯學園那樣，弗萊克斯納設想了一個知識分子的伊甸園，“一個安全的避風港，科學家和學者在這裏把世界和它的種種現象作為他們的實驗對象，而他們不會被強行卷入近期的旋渦中”。所謂“近期旋渦”指的是納粹德國和法西斯主義引發的那場災難，其時正失控地在世界範圍內蔓延。

 

這就是普林斯頓高等研究院的來曆，愛因斯坦是被邀請來的首席教授。所有終身教授都被免除了作為人的種種煩惱，包括交水電費在內的家務活計，填寫申請基金之類的各類表格，甚至發表論文或向上司匯報工作等等。換句話說，一旦進入了研究院，你就得到了充分信任，可以依據自己的興趣做任何研究。事實上，相當一部分時間，數學家和理論物理學家們在修剪得整整齊齊的草坪上散步，在公共客廳裏喝咖啡閑聊或沒完沒了地下棋。盡管如此，他們卻作出了驚人的貢獻，常常是一生最好的工作，比如英國數學家懷爾斯（A.Wiles），七年沒有發表一篇論文，最後完成的是費馬大定理的證明。這些現象表明，弗萊克斯納醫生對人類文明的貢獻一點也不亞於另一位醫生——精神分析學家弗洛伊德(S.Freud)。

 

1938年夏天，埃爾德什從英國回到匈牙利過暑假。9月初，剛剛吞並奧地利的希特勒要求合並蘇台德地區，這是捷克斯洛伐克講德語的一個地區。埃爾德什被震驚了，就在這個時候，普林斯頓向他伸出了橄欖枝，邀請他做訪問學者。24歲的埃爾德什與親戚朋友（這些人中相當一部分後來死於戰爭）匆匆告別，乘上火車，向南繞道潘諾尼亞平原、意大利和瑞士來到巴黎，最後抵達倫敦。月底，埃爾德什乘坐“瑪麗女王”號前往紐約，轉道新澤西，邁出了世界之旅的堅實一步。

埃爾德什一直認為，他初到普林斯頓那年是他學術生涯最為成功的一年。例如，他證明了任意多個連續正整數之積不會是一個完全平方數，這個結論再次使人相信數字結構的有序性。又如，他和波蘭人卡茨（M.Kac）得到了埃爾德什-卡茨定理，說的是小於N的整數所含的不同素因子個數與一枚硬幣拋N次正麵向上的次數遵守同樣的曲線分布，這個結論表明整數規則的表麵背後實際上隱藏著混亂。

 

可是，埃爾德什喜歡並擅長的那類數學問題在當時並不受重視，原因是它們和近期數學的發展趨勢沒有關係。而在埃爾德什看來，他原前精通的數學仍然蘊涵著無窮的寶藏，那為什麼不去繼續開采它呢？何況那些問題是數學中最美麗的部分。正如他的一位合作者所分析的，“埃爾德什的想象力和技巧是如此的深刻，不用走出太遠，就能開辟出一條永不幹涸的溪流。而其他人由於想象力不夠深技巧不夠精，隻好通過更多的數學，才能產生想法和新的定理。”無論如何，年輕的埃爾德什還是沒有被普林斯頓續聘，這讓他憤憤不平。當伊甸園的大門在他身後關上時，埃爾德什不得不又開始了新的數學之旅，從那以後，他便成了真正的數學遊子。但他心胸寬闊，戰後仍經常光臨普林斯頓，正是在那裏他憑借初等方法證明了古老的素數定理。這些非凡的工作為他贏得了未來的沃爾夫獎。

 

各 式 各 樣 的 數 學 家

有一次，愛因斯坦的助手斯特勞斯（E.Straus）教授談到他的擔憂，“一個人可能會在某些問題上耗盡精力，卻始終不能發現關鍵所在。”愛因斯坦自己也認為，他之所以沒有成為數學家是因為這個領域充滿了漂亮而困難的問題。埃爾德什卻義無返顧地深入到愛因斯坦所懼怕的誘惑之中，而他的確也從未陷入不切要害的泥潭裏。他們分別使我想起17世紀的兩位天才人物——費馬（P.de Fermat）和牛頓，前者全身心地投入到純粹的數論問題中，後者發明了微積分、三大運動定律和萬有引力定律而成為曆史上最有影響力的科學家。盡管如此，斯特勞斯認為，“在探索真理的征途中，唐璜式的埃爾德什和加拉哈式的愛因斯坦各有用武之地。”遺憾的是，在我解決了最初那類均值估計問題以後，一位前輩學人也因循傳統的觀念，告訴我埃爾德什的那類工作都是小問題，這一友善的“忠告”使我沒有堅定地沿著自己擅長的方向走下去。直到費馬大定理被證明以後，包括王元先生這樣的有識之士才認識到，數論學家應該回到埃爾德什開啟的軌道上來。

 

埃爾德什是一位苦行僧，他放棄了塵世的享樂和物質追求而去過一種殫盡竭慮卻又不被人們理解的生活。他和牛頓一樣，終生沒有結婚，甚至沒有談過戀愛，但那不是數學的緣故，而可能是先天的體格原因。即使最輕微的身體接觸也會讓他敬而遠之，當陌生人跟他握手時，他最多也就是用其柔軟的手與對方擦一下，即便那樣他也會感到不舒服，會一整天強迫自己洗手。並不是沒有女人喜歡他，而是關鍵時刻他都會逃之夭夭。可是，究竟是什麼使得數學讓埃爾德什如此陶醉而又如此憔悴呢？除了前麵提到的遊戲、靈敏和原創性以外，數學無時不在的挑戰性像鴉片一樣刺激著埃爾德什的神經，他的大腦始終敞開著，還有一對機警的耳朵，素數定理的初等證明和哥尼斯堡七橋問題的推廣這兩項工作就是道聽途說和電話線裏被他捕捉到的。

 

羅素（B.Russell），一位有過四次婚姻，一生留下許多風流韻事的數學家兼哲學家（他的秘密情人中包括詩人艾略特(T.Eliot)的妻子），部分是由於他的文筆優美、雅俗共賞而意外地成為諾貝爾文學獎得主，年輕時也非常迷戀數的世界，並寫詩讚歎，“我曾渴望讀懂人們的心窩。/我曾渴望知道星星為什麼閃爍。/我曾試圖了解畢達哥拉斯的神力，/有了它，數字不再搖曳不定。”羅素出身貴族，其祖父兩度出任英國首相，三歲的時候父母雙亡，他在祖母的嚴格管教下長大，接受了清教徒式的訓練，少年時代一度萌生了自殺的念頭，正是數學使他擺脫了青春期的孤獨和絕望。雖然後來轉向了哲學研究，但終其一生，羅素從數學中獲益匪淺，他與懷特海（A. Whitehead）合作的哲學名著的標題就叫《數學原理》，該書對邏輯實證主義的觀點進行了新的解釋，同時為哲學研究提出了新目標和新問題。

 

與埃爾德什同時代的匈牙利數學家馮·諾伊曼也是一位活力四射的人物。他是通才的樣板，在數理邏輯、集合論、連續群、遍曆性理論、量子力學和算子理論方麵取得了卓越的成就，同時，他又是現代電子計算機和博弈論之父，在物理學和經濟學領域有著巨大的影響力。連埃爾德什也不得不承認，馮·諾伊曼的反應速度和理解力是非同尋常的。他不僅思維敏捷，而且穿著時髦、風趣迷人，喜歡跑車和女人，愛寫打油詩、講黃色故事，對噪音、美食、酒和金錢一概不排斥。我在這裏舉羅素和馮·諾伊曼的例子無非是想說明，數學家的個性因人而異，與數學自身的特點並無必然的關聯。隻不過，對馮·諾伊曼來說，他的數學可能源自於經驗，他的生活也大體如此；而對埃爾德什來說卻不是這樣，至少在我看來，他的數學直接源自於那顆無時無刻不敞開著的腦袋。1996年秋天，埃爾德什在華沙發表組合論的演講之際死於心髒病，在那顆神奇的腦袋停止工作以後，人類或許要等上一個千年，才有可能重新找回。

原文發布時間為：2017-01-30

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