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序

印度數學奇才斯裏尼瓦瑟· 拉馬努金在短短的一生中寫下了大量論文，雖然多數文章在生前未得以發表，但借助其中一些文章中的全新見解，數學家肯恩· 小野解開了長久以來懸而未決的神秘數學難題。

拉馬努金在1920年去世，時年32歲。他留下了數本筆記，裏麵有超過3 000條有關數字規律的深刻表述。他的文章（上圖）一直啟發著數學家們。圖片來源：《環球科學》

1984年，一個周六的上午，還在讀高中的肯恩·小野（Ken Ono），打開了家中的信箱，信箱中有一封信，宣紙一樣薄的信封上貼著色彩絢麗的郵票。信的收件人是他的父親，一位內斂而謙遜的日裔數學家。當小野把信交給父親時，正在黃色便簽本上演算方程的小野父親抬起頭來，他放下了手中的圓珠筆，輕輕撕開密封條，打開了裏麵的信件。

起筆為 “親愛的先生”，“我知道……為紀念我丈夫而建立的雕像，有您的出資捐助……為此我感到很高興。”署名是“S· 賈納姬· 安瑪爾（S. Janaki Ammal）”，信紙的紅色信頭表明，她是已故的斯裏尼瓦瑟·拉馬努金（Srinivasa Ramanujan，數學天才）的遺孀。

這是年幼的小野第一次聽說傳奇的拉馬努金。這是一位來自印度、自學成才的數學奇才，在近一個世紀前，他曾做出一些神秘的斷言。他的英國合作者戈弗雷·哈羅德·哈代（Godfrey Harold Hardy）曾寫到：這些斷言“看起來令人幾乎難以置信”。基於拉馬努金的工作，一些數學家開創了全新的研究領域，提出了很多重要數學理論，而這些理論已經數次為相關數學家贏得了菲爾茲獎（Fields Medal）——數學界的諾貝爾獎。

拉馬努金。圖片來源：《環球科學》

現在，小野已經是美國埃默裏大學的數論教授了，在成為數學家的學習過程中，他並未過多留意過拉馬努金。在他看來，這位“數學奇才”在小野的數論專業研究上並未留下什麼全新的見解，小野的研究方向是模形式（modular form）－二維抽象空間對象（abstract two-dimensional object）的超對稱。

拉馬努金再次進入小野的生活是在1998年，而且這次是徹底地進入，那時小野29歲。在編輯這位天才的研究工作全集時，伊利諾伊大學香檳分校的數學家布魯斯·C·貝恩特（Bruce C. Berndt）發現了一份被嚴重忽略的手稿。由於處理的是模形式問題，貝恩特用電子郵件發了一份掃描件給小野，認為小野或許可以幫助解密一些奇怪的斷言。

肯恩·小野是美國埃默裏大學的數學家。圖片來源：《環球科學》

讀到手稿的三分之二時，小野停下了。在這份整潔的手稿裏，拉馬努金寫下了6個大膽的數學表述。在小野看來，這幾個結論令人匪夷所思，即使它們和小野的專業領域相關。

小野完全驚呆了。他確信這些表述是錯誤的。“我看著它們說道，‘不可能，這些公式完全沒用。’”

他的第一反應是，他要證明拉馬努金是錯誤的。

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重要轉折

拉馬努金是如何想出那些數學公式的，這一直是個謎。他用一本過時的英文輔導書完成自學。二十幾歲時，作為政府職員的同時，拉馬努金通過信件向一些英國數學家介紹他的想法。他收到了一份回複，這份回複來自於一位非常有前途的數學教授——哈代，他邀請拉馬努金到劍橋和他一起工作。在國外待了僅僅3年後，拉馬努金在第一次世界大戰的食品匱乏時期病倒了。日漸憔悴的拉馬努金回到了印度，於1920年去世，年僅32歲。

除去公開發表的37篇論文之外，拉馬努金留下了非常多的、堪比小型書庫的文稿，包括部分完成的手稿和3本皮邊筆記本。對這些文稿進行查驗後，哈代和其他人發現，拉馬努金重新發現或證明了一些有關數字規律的經典定理，這些定理的提出是由不同領域的頂尖數學家完成的。同時，拉馬努金還注意到了更多未被發現的定理形式。

經過專業訓練的數學家深知，要用一係列符合邏輯的論據來嚴格證明每一項定理，才能讓人相信定理的真實性。但拉馬努金並不為此所困。他將在腦海中運算出的或者用粉筆演算出的大量定理和運算，寫滿了一頁又一頁，並且幾乎不會停下來解釋他是怎麼得出這些結論的。僅是三本筆記本，就記錄了超過3000條的關於數字本質的結論。自拉馬努金去世，數學家們就一直在努力去證明或者推翻這些結論。

貝恩特自上世紀70年代開始挖掘拉馬努金檔案文件中的內容。20多年來，他一直致力於此，並發現了那份包含6個引人注目的數學表述的手稿——就是小野試圖推翻的那些內容。它們描述了模形式和所謂分拆數（partition number）之間的類比性。

分拆是指將一個正整數表示成不大於其自身的一個或幾個正整數的無序和，分拆數則是指不同的分拆方式的數目。分拆數源於分拆函數，同其他函數一樣，分拆函數也是表示兩個事物之間的對應關係：輸入給定的x 便有對應的輸出f（x）。分拆函數p（n）的值為，對於給定的整數n，其拆分方式的種類。例如，4的分拆方式有：1+1+1+1、1+1+2、2+2、1+3和4，因此p（4）的值為5。

分拆函數及其對應的分拆數可能看起來很直觀，但幾個世紀以來，理論學家們一直想努力找到這些數值之間的關聯模式，以便能夠預知、計算分拆數，或者能夠建立分拆數與其他的函數、定理之間的聯係。正是拉馬努金第一次做出了實質性的突破。他和哈代共同設計了一種可以快速估計分拆數的方法。為了檢驗這種方法的準確性，他們找到了一位具備出色計算才能的英國退伍炮兵——珀西· 亞曆山大·麥克馬洪（Percy Alexander Mac-Mahon），請他來徒手計算前200個分拆數。結果證明，拉馬努金和哈代的估算值達到了驚人的精確程度。

更重要的是，通過研究麥克馬洪得到的數值列表，拉馬努金得到了一個非常著名的觀察結果。麥克馬洪從n=0開始，按每行5個數值的格式來排列p（n）值。拉馬努金注意到，每行的最後一個值——即以p（4）開始的第5列的數值，可以被5整除，並且證明這種模式永遠成立。這是一個驚人的啟示。要知道，分拆是關於累加數的，沒有人會想到，分拆數居然會有這一性質。

拉馬努金還觀察到了更多的類似模式。例如，他證明了，從p（5）開始後數，每第7個分拆數，可被7整除。類似地，從p（6）開始後數，每第11個分拆數可被11整除。令人難以理解的是，“拉馬努金同餘式”（Ramanujan congruences）到此就終止了。拉馬努金在他的一篇寫於1919年的文章中寫到，“看起來，除去這些素數，不存在具有完全等同性質的其他素數模式”，這裏的素數，指的是5、7和11這三個值。

在拉馬努金去世後，數學家們想知道，分拆是否有其他的、並非如此簡單的性質，並試著去發現它們。直到上世紀90年代末，他們也隻是發現了很少的幾個同餘式，這些同餘式表麵上看起來是隨機的素數和素數冪，包括29、173和236。他們猜想這樣的模式是不可預知的，並且非常、非常稀少。

然而，當小野試圖深入理解拉馬努金文稿中的這6個表述式時，他非常吃驚，因為他意識到，這些猜想可能錯得離譜。長期以來，數學家們一直相信，分拆數隻和模形式的一小部分子集相關。讓小野震驚的是，拉馬努金居然用這6個表述式，以一種讓人無法預料的、意義深遠的方式，將這兩個領域聯係了起來。

由於拉馬努金沒有記錄下具體的證明過程，小野無法直接確定這位天才的思考過程中的錯誤。因此他決定，將一些數字代入拉馬努金的相關表述公式中，希望這些例子或許可以幫助他找到一些錯誤。可是，這些公式每次都成立。“不會吧！”小野對自己說到。他意識到，拉馬努金肯定是正確的，“因為你不可能那麼巧地構造出這樣的公式，驗證100次都還是正確的，除非你一直就知道這個公式成立的原因。”他閉上眼睛，努力去思考拉馬努金理解到的、但其他人並不知曉的內容。

小野知道模形式中包含同餘式，這些同餘式和拉馬努金在分拆數中發現的那幾個同餘式具有相同的模式。凝視著這6個表述式，小野的腦海中閃現了一個想法。如果將分拆函數看做經過變形的模形式的話，他就可以證明它們是正確的。

緊接著，小野產生了另一個想法。當他意識到這個想法所能帶來的意義，禁不住放聲大笑：他想到，隻需要做一些調整，他發展的關於模形式的理論，就可以成為一個強大的工具——不僅可以驗證拉馬努金天才般的表述式，並且還能深度揭示分拆函數的秘密。“這就像得到了一副奇特的、全新的望遠鏡，”小野回憶到，“如果這個宇宙中的星星是分拆數，有了它之後，當你再觀測宇宙時，你能看到宇宙中存在非常多的星係（即同餘式）”。

用這種方法，小野證明了分拆同餘式並不稀少。數學家們原本認為，除了5、7和11之外，隻有非常少數的同餘式，但事實上，小野發現有無窮多個。

小野的手稿。圖片來源：《環球科學》

小野的同行們為這一開創性的發現歡唿雀躍。但小野自己卻並不滿意。盡管他可以證明分拆同餘式是普遍存在的，卻不知道如何才能找到它們。如果將分拆數按順序排列好，你或許能知道同餘式是以什麼頻率出現的。但如果隻有一個，你能不能預測出下一個在哪出現呢？對這個問題，小野毫無頭緒。

當遇到阻礙時，小野從來不會將問題在腦海中反複地、不斷地思索，這樣會使得問題變得像一塊被過度咀嚼、沒有任何彈性的口香糖一樣。與此相反，他暫時擱置了分拆同餘式的預測問題，而去專注於其他未解問題。

這一問題沉寂了有5年的時間，直到2010年的春天，博士後研究員紮卡裏·A·肯特（Zachary A. Kent）來到埃默裏大學。有一天，他們在聊天中談到了這一問題，接著很快就變成了時時刻刻都在討論該問題，無論是在辦公室、咖啡館，還是在亞特蘭大北部的樹林中遠足時。

一點一點地，他們在腦海中建立起一個可以將分拆數整齊排列的、錯綜複雜的超級框架。他們能夠想到這種結構，是用到了一個數學家稱為算子 （operator）的理論工具。利用選定的特殊算子，帶入任何素數（如13），選擇素數冪（132,133,等），將它們劃分為不同的分拆數。難以置信的是，這樣得出來的數字居然遵守分形結構——在不同的範圍內，它們重複著近乎相同的模式，就像雪花的分支一樣。這一結果表明，分拆數並不是一個隨機數字序列，附帶出現的對稱性也並非亂七八糟地散落其間。相反，這些數字具有“美麗的內部結構”，小野說到，這使得分拆同餘式能夠被預測，而對於研究分拆數的學者，這一領域看起來更加迷人了。

小野、肯特以及來自耶魯大學的合作者阿曼達·福爾瑟姆（Amanda Folsom），耗費了數月的時間來解決新理論中存在的所有問題。最後，他們終於可以證明，分拆同餘式的出現方式是可以通過計算得出的。不過，超過11之後，模式變得更加複雜，這很可能是拉馬努金沒有算出它們的原因。

2011年，在埃默裏大學專門召開的一次研討會上，小野和合作者們介紹了他們的發現。而後，祝賀的信息潮水般湧入了小野的信箱。“這是一個非常引人注目的、令人驚訝的發現，” 賓夕法尼亞州立大學的分拆學專家喬治·E·安德魯斯（George E. Andrews）這樣說，“我認為即使是拉馬努金，做夢也不會想到它。”

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完美的答案

對拉馬努金的研究給了小野一些啟示，或許有一天這些發現可以應用到數學以外的其他領域。將拉馬努金的先見和當代數學融合在一起，小野和同事已經設計出了強大的計算工具。除了對純數學研究工作的促進作用，這些工具還可以產生更好的計算機數據加密方法以及研究黑洞的方法。

小野和德國多特蒙德科技大學的簡·布魯尼爾（Jan Bruinier）合作，構造了一個能夠快速準確地計算巨大分拆數的公式——這是拉馬努金沒能贏取的“聖杯”。小野將這一計算器稱為“神諭”。除了處理分拆數，他說，它還可以用來研究特定種類的橢圓曲線（橢圓曲線是類似麵包圈表麵的幾何圖形）。

密碼學家利用橢圓曲線創建計算機數據的加密算法。加密算法能夠成功，是由於算法產生的數學謎題沒有辦法被即時破解。例如，一種稱為RSA的常用加密算法，要將結果分解為兩個大素數乘積，加密能夠成功依賴於分解因子的困難性。更新一點的加密方法是利用橢圓曲線上的點集，其對應關係更難辨別。如果“神諭”或者相關研究可以提供更加難以捉摸的關聯方式，密碼學家可能會使用這方麵的知識，發展出更加強大的加密係統。

小野的工作還解開了拉馬努金數學遺產中的眾多謎題之一。在去世前三個月，由於感冒和疼痛臥床不起的拉馬努金，給遠在英國的哈代匆忙寫完了最後一封信。“我十分抱歉到現在連一封簡單的信都未能寫給您，”他寫到，“我最近發現了十分有趣的函數，我稱之為‘模’θ函數……它們和常規θ函數一樣優美地進入到數學領域。”

θ函數本質上是模形式。拉馬努金猜測，在輸入特殊值時，也許能這樣描述新函數（模θ函數）：它和模形式毫不相像，但特性類似，這種特殊值稱為奇點。靠近這些點時，函數值趨向無窮大。以下麵的函數為例，函數f（x）=1/x,它有一個奇點x=0。隨著x無限接近0，函數值f（x）漸增至無窮大。模形式具有無窮多的奇點。拉馬努金通過直覺猜測，對於每一個這樣的函數，存在一個模θ函數使得不僅奇點相同，並且這些點的函數值以幾乎同樣的速率趨近於無窮。

利用拉馬努金去世幾十年後形成的一些意見、想法，荷蘭數學家桑德·祖格思（Sander Zwegers）終於在2002年正式定義了模θ函數。但對於拉馬努金做出的這些函數會在奇點模仿模形式的斷言，數學家們始終不能解釋。

根據小野和布魯尼爾發現的“神諭”而建立的強大計算工具，最終解決了這一謎題。同福爾瑟姆和斯坦福大學的羅伯特·羅茲（Robert Rhoades）一起，小野用它計算出，當輸入值接近奇點時模θ函數的輸出結果。結果證明的確如此，他們發現拉馬努金的猜想是正確的：這些輸出結果與對應的模形式奇點的輸出結果明顯相似。例如，在一種情況下，數學家發現，兩個輸出結果的差值接近4，相對於這個宇宙中的無限數值來說，這個差別小得幾乎可以忽略。

最近，物理學家利用模θ函數來研究黑洞的一種性質——熵，這是用來研究封閉係統如何達到能量平衡的完美狀態的一種方法。一些科學家相信，和小野的成果類似的公式，能使他們以更高的精度探討這種現象。

小野告誡大家，我們不應過多地關注其工作成果的潛在應用。像許多理論學家一樣，他相信，這些實際應用並不能使他的發現變得偉大。他認為，偉大的發現，應該是與繪畫和音樂類似。安德魯斯十分同意，“小野的定理並不會給我們提供無限的綠色能源，也不能治愈癌症，或者做一些意義偉大的類似事情”。數學發現經常在幾十年後，才會在科學技術中扮演應有的重要角色。預測這些數學發現在未來會有什麼重要意義，幾乎是不可能的；即便可以預測，也是非常困難的。

小野仍然能夠回憶起，第一次見到父親在黃標便簽本上寫出拉馬努金同餘式時的愉悅。他記得當時問父親，“為什麼隻有3個？”父親回答說，“沒有人知道”。

小野是在他家的餐廳裏向我講述這個故事的。在他身後牆上掛著一幅相框，裏麵的照片是拉馬努金銅像。這座銅像是捐給拉馬努金的遺孀的，製作經費來自世界各地數學家和科學家的捐款——小野的父親捐贈了25美元。“即使在最瘋狂的夢境中，我都不曾想到，有一天我能夠說，‘爸爸，你知道嗎，那些同餘式不是僅有這些——絕對不是。’”

原文發布時間為：2016-10-30

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