引言：成為一名“數學學霸”顯然不是一件輕鬆的工作，不僅需要“高智商”的支持，還一不小心就被套上了“情商低”“Nerd”的“帽子”。

別怕！事實上，除了具體的公式、求證，數學學習中涉及的思維方式在日常生活中也能夠派上大用場！

本篇文章用大量實際案例告訴你，數學學習中get到的這6大技能不僅僅可以幫助你思考發雜而多元的問題，也能夠幫你培養成功所必須的情商。

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為什麼要學習數學？

學生在學數學時最常見的問題是“我到底什麼時候能用到我學到的知識？”。除了學數學可以讓你非常擅長遵循明確方向的指導之外，許多數學老師也很難給出一個統一的答案。他們會說“慎思明辯”，但這並具體。同時，相同的老師也可能還會一本正經的告訴他們的學生反正弦函數的倒數是很重要的。

所以我也列了一個清單。學數學的學生正在被正確地教導這些具體而明確的技能，在他們生活中，在數學之外領域裏，就可以派上用場。數學家每天需要使用其中有些技能去思考複雜而多元的問題。其他的是社會性的，是如果想在一個領域取得成功所必需的情商。所有這些都以其最純粹的形式，在數學的領域裏被學習。我的清單如下：

1.討論事情的定義

2.提出例子和反例

3.經常犯錯但勇於承認

4.評估一項主張的所有可能推論

5.梳理一項主張的前提條件

6.縮放抽象的梯度

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討論事情的定義

 

數學家獲得的最基本的技能是對定義的流動性。這項技能實際上比聽上去有著更多地內容。我的意思是，數學家在用詞中執著於使用的每個詞都是最好的，最有實用意義的。數學家需要清晰的邏輯思維，因為他們研究的領域是可以被明確證明或者否定的。如果一件事情能夠“明確地做到”，那麼它必須是可以被明確定義的。

讓我先從一個數學例子開始，這個例子和現實生活有一些關聯，這個詞是隨機。隨機概念一直困擾著它最近的數學曆史地位，因為它難精確地定義一個事件是否是隨機的。統計人員處理這個難題時可能會說事情不可能是隨機的，但是過程可以是隨機的，並且你可以定義一個事情發生的概率作為這個過程的結果。這是一個非常簡短的概述，但它幾乎是整個統計學的基礎。

然而它不是隨機性的唯一定義。因為我們直覺地想說，例如，在一次擲硬幣過程中得到20次正麵比得到HTHHTHHHTTTHTHHTHHTH更不隨機。數學家發現這種情況，認為隨機性的統計定義是不夠的，並且發明了一種叫做Kolmogorov複雜性定義。粗略的說，如果產生這個事件的最短計算機程序和事件的描述一樣長，這個事件就被稱為Kolmogorov隨機。這裏使用的“計算機”是一個純粹的數學定義，這個定義發生在生產真正的計算機（阿蘭·圖靈發明）之前。通俗地說，一個Kolmogorov隨機事件要求事件本身的描述能夠完全被寫成源代碼，用電腦程序去模擬它。

Kolmogorov 複雜性已發展為數學和計算機科學的一個引人入勝的部分，但它不是故事的結尾。冒著深入研究過多細節的危險，數學家發現對於大多事件，Kolmogorov複雜性是不能被計算的。所以，把它應用於非理論問題是非常困難的。數學家們希望有一個定義可以描述看起來隨機的數字；並且，為了實際應用的目的能足夠隨機，但在Kolmogorov意義上的又是高度非隨機的。其結果就是“機密安全隨機性（cryptographically secure randomness）”的當前定義。

不嚴格來說，密碼學意義上的隨機性意味著不存在有效的電腦程序，使得區分偽隨機和真實的隨機事件（統計學意義上的）的概率能顯著超過50/50猜測。這是保證你的數字已經足夠隨機，你的敵人將無法預測你下一步將使用哪些數字，因為你的敵人所需要的計算時間不會短於他的壽命。這是現代密碼學的基礎，工程師開始把關後，現在的係統保護著我們的互聯網通信安全和私密性。

 

所以，數學家們花費了很多時間在思考定義，影響著我們如何在現實世界中使用數學。當然我不是主張教每一個人數學。讓每個人都冥思苦想定義，在現實生活中又有什麼好處呢？

現在是時候討論一些現實的例子了。第一個例子是基思·德夫林，數學家和顧問，被要求在911後幫助一些美國國防機構改進他們的情報分析。他描述了第一次給滿屋子的國防承包商作報告時的情況，他通過討論對“情境”這個詞的精確定義開始了他的演講。我節選了他的文章，強調一些重要的部分。

當我啟動了我的PPT幻燈片投影時......我確信，這組人會中途阻止我，讓我乘下一班飛機回到舊金山，而不是浪費他們更多的時間。在活動現場，我確實沒有翻過幻燈片的第一頁。但不是因為我被趕出去了，而是那次報告的其餘時間都花在討論出現在第一張幻燈片上的內容...事後，有人告訴我“這一張幻燈片充分展示了你應該參與這個項目的合理性。”

所以我做了什麼？從我的角度來看，什麼都沒有做。我的任務是找到一種方式，分析“情境”如何影響著數據的分析和在涉及軍事，政治和社會領域的高度複雜的情境中的推理。我走出了（對我來說）很明顯的第一步。我需要寫下來精確的數學定義，盡可能定義“情境”是什麼。它花費了我幾天的時間...我不能說我完全滿意...但是我已經盡力做到最好了。並且它至少給了我開始開發一些基本的數學思想的堅實基礎。

這一群相當聰明的學者，國防承包商和國防部高級人才，花了整個分配給我的時間段來討論一個定義。這場討論導致所有不同領域的專家們對“情境”有著不同的概念 – 真是一場災難。

首先，我問了他們一個問題：“什麼是情境？”。因為房間裏的每個人除了我都對“情境”這個概念有一個良好的認識（我剛才說到了，不同的認識），他們從來沒有想過寫下一個正式的定義。這不是他們所做工作的一部分。其次，通過給他們展示“情境”的正式定義，我給了他們一個共同的參照點,他們可以比較和對比自己的觀念。我們已經開始避免災難了。

 

作為一個數學家，德夫林沒有不同尋常。事實上，一個數學家在遇到一個新的話題時最常見的問題是，“這個詞是什麼意思?”

 

作為國防情報顧問，雖然德夫林的具體例子非常專業，但他的這種機能卻是普遍的。這其實就是我們所說的“慎思明辯”的基礎之一。一個也許會忽略數學思維的普通民眾，在聽到新聞裏政治家說“我們擁有伊拉克有大規模殺傷性武器的有力證據”時，如果他們有一個良好的數學教育，他們將會問：“有力的證據和大規模殺傷性武器究竟意味著什麼？”。然後，關鍵的後續問題是：他們所提供的定義是否就意味著發動戰爭這種應對方式就是合理的？如果你不理解這個定義，你就不能夠做出明智的投票決定。（當然，如果你隻是把新聞當成娛樂，或者你是政治俱樂部的一員，事實對你而言無關緊要）

每個人都不得不應對新的定義，無論是“婚姻”和“性別”的新定義，還是“意圖”，“合理”或“隱私”的合法的新定義。作為一名經驗豐富的數學家將很容易注意到，政府並沒有 “宗教”的有效定義。能夠慎思明辯地思考定義是明智交談的基礎。

典型的數學學生早在本科就開始勤於思考定義，並且通過研究生階段和一段研究生涯，他們對開發這種技能越陷越深。數學家通常每天遇到新的定義，有小範圍的定義，也有大範圍的。能夠通暢的討論定義可以使所有人受益。

 

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舉出例子和反例

讓我們在非正式場合實踐定義。“反例”的意思是用於表達事情不對的例子。例如，數字5就是“10是一個素數”這句話的反例，因為10可以被5整除。

對於各種主張，數學家花費了大量的時間想出例子和反例。在這一點上，以下兩種方式與之前提到的有關定義的內容通緊密相連。

1.通常情況下，當想出一個新定義時，這個人會有一組希望此定義會遵循的正例和反例。所以例子和反例幫助指導這個人建立好的定義。

2.當遇到一個新的已經存在的定義時，每個數學家想到的第一件事情就是寫下能幫助他們更好理解定義的正例和反例。

然而，例子和反例不僅僅限於對定義的思考。它們幫助人們對主張做出評估和理解。研究數學的任何一個人都很了解這種模式，這種模式就是“推測和證明”。

這個模式如下所述。當你在解決一個問題時，你學習一些數學知識，並寫下用這些知識你想證明什麼。這是推測，就像是對你的研究對象的一個明智的（或無知的）猜測。然後是證明，在那裏你試圖證明或反駁了這一主張。

打一個糟糕的比方，假如你會猜測，地球是宇宙的中心。接著你找出一些例子說明你的猜測。在我們太陽係的例子中，也許你做了一個玩具模型認為地球是宇宙的中心，如果宇宙和玩具一樣簡單的話。或者你可以嚐試去作出有關太陽和月亮一些測量並拿出證據，證明猜測是假的，實際上地球圍繞著太陽。與數學上不同的是，“證據”是一個反例，而且它必須是可證明的，才可以被稱為是“證據”。“證據”在數學上往往隻是暫時的占位符，直到真相被發現，雖然對於一些高知名度的數學題，數學家們除了 “證據”外什麼都沒有發現，甚至是經過了上百年的學習之後。

這個比方糟糕的地方還有因為這種情況存在於數學的幾乎微觀層麵上。當你深入一個項目時，你每個幾分鍾就會有一些新的小推測，並且大部分被否定，因為你後來意識到這些推測是很不明智的猜想。在一個不錯的結果到來之前，你需要經曆這數百個錯誤的假設。這是一個渦輪增壓的科學過程。你在路邊找到的反例就像路標。他們引導你未來的直覺，一旦他們在頭腦中根深蒂固，就會幫助你相對輕鬆地接受或拒絕更複雜的猜想和問題。

 

再次，能夠產生有趣和有用的例子和反例是有效對話的支柱。如果你曾經讀過最高法院聽證會的文字記錄，例如一個關於囚犯因為宗教原因戴著胡子的合法性，你將會明白大多數的爭論正在測試以前針對“合理”，“宗教”和“意圖”建立的法律定義的例子和反例。這種思維也有著無數在物理，工程和計算機科學領域的應用。

 

但是，微妙的地方在於，數學家們在其職業生涯作出如此多錯誤的，愚蠢的，和虛假的猜想，他們反而最不容易因為強大的聲音和文化上的假設而盲目地接受主張。如果作為一個集體的現代社會，我們認同，人們太願意相信別人（比如，政治家，媒體“專家”，金融名嘴），那麼學習數學是一種建立正確的質疑思維的古怪方式。這種方式不僅對工程師有用，對俢管工，護士和垃圾回收工一樣有用。

 

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經常犯錯但勇於承認

伊莎貝爾和格裏芬兩位數學家在黑板前討論。伊莎貝爾認為這個主張是正確的，而格裏芬認為它錯了，他們爭執得很激烈。但十分鍾後他們竟然完全了轉變立場！現在伊莎貝爾認為這是錯的，而格裏芬認為這個主張完全正確。

我經常目睹這種情況，但隻在數學領域。因為隻有當這兩個數學家願意承認他們的錯誤，並在意識到他們的說法有缺陷時敢於轉變立場，這種事才可能發生。

有時我和四五個人一起討論，隻有我與他們意見不同 。但隻要我論據充分，大家立刻就能承認他們錯了，還不感到糟糕或是懊悔。當然更多的時候我和大多數人一樣被迫撤回，修正，並且打磨我的那些老觀點。

對我來說這種事情稀鬆平常，懷疑、出錯、認錯然後重新開始，這甚至將數學論述與人人稱讚的科學論述區分開。不用處理P值，不用遊說，和數學人討論時你也不必擔心你的名聲。重要的隻有對深刻見解和真理的追求。數學的習慣就是將你的驕傲與尷尬放在一旁，真理至上。

 

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評估一項主張的所有可能推論

斯科特·阿倫森曾寫過一篇關於肯尼迪遇刺及其陰謀論的博文。文中他用數學思維評估這項主張：“肯尼迪遇刺是個大陰謀，中情局也一樣”，他的論據直接了當，顯然受到數學和計算機科學思維習慣的啟發。 例如，

 

幾乎所有關於肯尼迪的陰謀論一定都是假的，因為他們相互矛盾。一旦你意識到這點，並以他們中有一個是真的為前提來判斷這些相互矛盾的陰謀論，你會發現你可以毫無阻礙地駁倒它們，這便是啟蒙的曙光降臨的時刻。

還有這段：

如果這項陰謀如此強大，為什麼它沒做一些更令人印象深刻的事呢？為什麼僅僅是刺殺肯尼迪？為什麼不是操控選舉，從一開始就阻止肯尼迪成為總統？ （在數學上，很多時候你發現你的論點出錯的方式是意識到這個論點會帶來遠多於你出發點的信息。 然而我讀過的每一個陰謀論都存在這個問題。例如，成功刺殺肯尼迪後，難道這個陰謀就此散夥了？它有策劃其他暗殺嗎？如果沒有，為什麼不？難道不應該繼續拉動操控世界的傀儡線嗎？如果這項陰謀有界限的話，它又是什麼呢？）

事實上，探索一個主張的極限就是數學家的麵包和黃油。這是評估一項主張正確性最簡單的高級工具之一，你無需深入那些細枝末節。事實上，它也可以作為一個試金石來判斷哪些論點值得你詳細了解。

有時一個論點的極限可以引出一個更好，更優雅的定理，它還包括原始的主張。當然更多時候你隻是意識到你錯了。所以這個習慣其實是經常犯錯並想出反例的一個非正式說法。

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梳理一項主張的前提條件

數學也有一個令人遺憾的特點，那就是它充滿著不確定性。雖然我們喜歡把數學當做嚴謹的化身，而且我覺得這也沒錯，畢竟數學的曆史已經超過百年。但即便如此，數學的過程，也就是學習已有的理念或者發明新的理念這個過程，它不僅僅是生硬的嚴謹的推理，更多的是人與人的交流。

由於數學的這個特點，當有人大聲提出一項數學主張時，他們通常采用最容易理解的措辭來傳達這項主張的核心思想。雖然你可能完全想不到數學人的用詞，尤其是當兩個數學家交談時，你作為一個局外人便很難理解。

在這樣的情況下，你就該多花點時間問基礎的問題了。比如說，“在這個語境下這些詞是什麼意思？”，“哪些明顯的嚐試已經可以排除了，為什麼？”要想更深入一點，你可以問，“這些開放式問題為何重要？”還有，“他們認為這種探究導向何方？”

這些都是數學家了解問題的方法。總之就是要把一團亂麻的一絲一毫都理清，要知曉每個主張的前提條件。這與世界上的其他論述方式截然不同。

例如，在充滿爭議的2016美國總統大選中，誰試圖深入了解過唐納德·特朗普的世界觀？大多數自由主義者隻聽到，“我要建立一堵牆，還得是墨西哥買單”，於是便嘲笑他是個瘋子。而如果用數學方式對待這個主張，你會先去了解它來自哪裏。特朗普吸引著哪些選民？在移民問題上，他排除了哪些其他方案，為什麼？對他的支持者來說，為什麼移民問題如此重要，他這樣回答是出於怎樣的前提條件？他的出價如此成功，是什麼因素在發揮作用？

當然我並不是在陳述自己的政治立場，我隻是指出，當一個數學家麵對一團亂麻時，梳理前提條件是必不可少的。“自由媒體低估了特朗普”的很大一部分原因在於不去回答這類問題。相反，它們不斷傳播特朗普那些誤導的言論，還希望這就能攻破特朗普支持者們的防線。如果民調數據可信，媒體的這一招這可不是很有效...

 

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縮放抽象的梯度

討論數學人最後的習慣之前，我要從布雷·維克多那裏借用“抽象的梯度”這個概念。也就是推理時，你可以用很多不同分辨率（這裏維克多指梯度）去看待同一個問題。在維克多的例子裏，如果你正在設計一個汽車駕駛算法，你可以用最清晰的分辨率，也就是寫一個算法並在每次執行中研究它的行為。（如果想了解更多，請閱讀布雷·維克多的原文https://worrydream.com/LadderOfAbstraction/）接著縮小放大倍率，你可以用滑動圈控製算法的不同參數（和時間），你可以將一種算法納入一係列可調整的算法。你還可以進一步歸納，利用可調整的參數和行為搜索所有可能的算法。在這個過程中，你在尋找一種小放大倍率下的模式，它可以實現你的最終目標：在最低梯度（最粗分辨率）設計出一個完美的駕駛算法。

數學家們定期進行縮放，尤其是在研究生院的後期，當你需要學會閱讀大量的研究論文時。這時你沒有時間深入了解每個符號或每個主張，你隻需要了解足夠重要的論文。你需要製定一個抽象梯度：最低梯度是定義、定理和例子，下一梯度是論文的整體論述，再下一個是相關論文和更廣泛的數學背景，最高梯度是該領域的整體趨勢，哪些東西是重要的或流行的等等。

你可能會從最低梯度開始，通過一些例子開始來大概理解一個定義，然後你跳到這篇論文的主要定理，明白它為什麼是對前人工作的巨大提升 。他們可能會用到一些50年代的技術，而你還不熟悉那個領域，但沒關係，你隻要知道他們用的理念，把它當做一個黑匣子去理解這個定理的高層次證明，你隻需要一步登一個階梯。然後你去看公開問題部分，看看還有哪些工作沒做，如果它很吸引人，你便可以仔細閱讀論文的其餘部分了。

確實，當數學家們談論自己的工作時，他們就必須自己鍛煉縮放梯度的那部分肌肉。因為觀眾分很多種，他們能在不同分辨率下理解同一個數學理念。有時在一種情境下用“競爭博弈”能最清楚地解釋一些定理，有時在另一種情境下“最優化問題”比較好，還有些時候“類比到冶金領域”會更好理解。

數學的很大挑戰便是整合所有梯度下的信息，把這些信息轉換成一個連貫的世界觀，在此世界觀下你可以隨意放大和縮小。維克多的概念就是一個強大的用戶界麵，它使健身變得更容易。然後數學家們用各種各樣的方式練習。不過無論通過哪種方式，最終的目標都是有價值的。

 原文發布時間為：2016-09-08

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