Logistic Regression 分類算法

Logistic Regression 分類算法

Logistic Regression包含三個部分：回歸，線性回歸，Logistic方程

1） 回歸

Logistic regression是線性回歸的一種，線性回歸是一種回歸。那麼回歸是蝦米呢？
回歸其實就是對已知公式的未知參數進行估計。比如已知公式是y=a∗x+b，未知參數是a和b。我們現在有很多真實的(x,y)數據（訓練樣本），回歸就是利用這些數據對a和b的取值去自動估計。估計的方法大家可以簡單的理解為，在給定訓練樣本點和已知的公式後，對於一個或多個未知參數，機器會自動枚舉參數的所有可能取值（對於多個參數要枚舉它們的不同組合），直到找到那個最符合樣本點分布的參數（或參數組合）。（當然，實際運算有一些優化算法，肯定不會去枚舉的）
注意，回歸的前提是公式已知，否則回歸無法進行。而現實生活中哪裏有已知的公式啊（G=m*g 也是牛頓被蘋果砸了腦袋之後碰巧想出來的不是？哈哈），因此回歸中的公式基本都是數據分析人員通過看大量數據後猜測的（其實大多數是拍腦袋想出來的，嗯...）。根據這些公式的不同，回歸分為線性回歸和非線性回歸。線性回歸中公式都是“一次”的（一元一次方程，二元一次方程...），而非線性則可以有各種形式（N元N次方程，log方程 等等）。具體的例子在線性回歸中介紹吧。

2）線性回歸

直接來一個最簡單的一元變量的例子：假設要找一個y和x之間的規律，其中x是鞋子價錢，y是鞋子的銷售量。（為什麼要找這個規律呢？這樣的話可以幫助定價來賺更多的錢嘛，小學的應用題經常做的嗬嗬）。已知一些往年的銷售數據（x0,y0), (x1, y1), ... (xn, yn)做樣本集, 並假設它們滿足線性關係：y = ax + b （其中a,b的具體取值還不確定），線性回歸即根據往年數據找出最佳的a, b取值，使 y = a x + b 在所有樣本集上誤差最小。
也許你會覺得---暈！這麼簡單! 這需要哪門子的回歸呀！我自己在草紙上畫個xy坐標係，點幾個點就能畫出來！（好吧，我承認我們初中時都被這樣的畫圖題折磨過）。事實上一元變量的確很直觀，但如果是多元就難以直觀的看出來了。比如說除了鞋子的價格外，鞋子的質量，廣告的投入，店鋪所在街區的人流量都會影響銷量，我們想得到這樣的公式：sell = ax + by + cz + dzz + e。這個時候畫圖就畫不出來了，規律也十分難找，那麼交給線性回歸去做就好。（線性回歸具體是怎麼做的並不重要，對程序員來說，我們就把它當成一條程序命令就好。若看完本文還想了解更多，求解方法可見本文末尾的注1）。這就是線性回歸算法的價值。
需要注意的是，這裏線性回歸能過獲得好效果的前提是y = a*x + b 至少從總體上是有道理的（因為我們認為鞋子越貴，賣的數量越少，越便宜賣的越多。另外鞋子質量、廣告投入、客流量等都有類似規律）；但並不是所有類型的變量都適合用線性回歸，比如說x不是鞋子的價格，而是鞋子的尺碼），那麼無論回歸出什麼樣的（a,b），錯誤率都會極高（因為事實上尺碼太大或尺碼太小都會減少銷量）。總之：如果我們的公式假設是錯的，任何回歸都得不到好結果。

3）Logistic方程

Logistic方程(也叫sigmoid函數）即：

上麵我們的sell是一個具體的實數值，然而很多情況下，我們需要回歸產生一個類似概率值的0~1之間的數值（比如某一雙鞋子今天能否賣出去？或者某一個廣告能否被用戶點擊? 我們希望得到這個數值來幫助決策鞋子上不上架，以及廣告展不展示）。這個數值必須是0~1之間，但sell顯然不滿足這個區間要求。於是引入了Logistic方程，來做歸一化。這裏再次說明，該數值並不是數學中定義的概率值。那麼既然得到的並不是概率值，為什麼我們還要費這個勁把數值歸一化為0~1之間呢？歸一化的好處在於數值具備可比性和收斂的邊界，這樣當你在其上繼續運算時（比如你不僅僅是關心鞋子的銷量，而是要對鞋子賣出的可能、當地治安情況、當地運輸成本 等多個要素之間加權求和，用綜合的加和結果決策是否在此地開鞋店時），歸一化能夠保證此次得到的結果不會因為邊界 太大/太小 導致 覆蓋其他feature 或 被其他feature覆蓋。（舉個極端的例子，如果鞋子銷量最低為100，但最好時能賣無限多個，而當地治安狀況是用0~1之間的數值表述的，如果兩者直接求和治安狀況就完全被忽略了）這是用logistic回歸而非直接線性回歸的主要原因。到了這裏，也許你已經開始意識到，沒錯，Logistic Regression 就是一個被logistic方程歸一化後的線性回歸，僅此而已。

至於所以用logistic而不用其它，是因為這種歸一化的方法往往比較合理（人家都說自己叫logistic了嘛 嗬嗬），能夠打壓過大和過小的結果（往往是噪音），以保證主流的結果不至於被忽視。具體的公式及圖形見本文的一、官方定義部分。其中f(X)就是我們上麵例子中的sell的實數值了，而y就是得到的0~1之間的賣出可能性數值了。（本段 “可能性” 並非 “概率” ，感謝zjtchow同學在回複中指出）

總的來說

邏輯回歸，是將所有特征經過sigmoid歸一化處理，再用梯度下降法，求線性方程的解

參考

https://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/20319673
https://hi.baidu.com/hehehehello/item/40025c33d7d9b7b9633aff87