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HDU 3977 求斐波那契循環節

題意：求斐波那契數列模一個數的循環節的長度。

分析過程：首先我們知道fib數列模p如果出現了連續的1，0就意味這著開始循環了，因為接下來的項就是1 1 2 3 5等等。

那麼很顯然如果在第k位第一次出現了1，0，那麼對於以後的1，0都可以表示為k*m。

 

那麼，現在我們考慮如果fib數列模p在第pos位第一次出現了0，那麼設0前麵的那個數為a，則接下來的序列將是a，0，a，

a，2a，3a，5a，8a，....。可以看出a的係數就是一個fib數列，那麼我們就可以得到fib(k+i)%p=a*fib(i)%p，其中i滿

足0<i<k，所以進一步可以得到fib(i)=[a^j*fib(i-k*j)]%p。


那麼我們現在先來說說如何求fib數模一個正整數n的循環節長度：

對於這個問題，我們先對n進行素因子分解，得到：，然後先對每一個形如p^k的數計算循環節，然後它們

的最小公倍數就是n的循環節長度（當然這裏麵涉及到CRT等等方麵的基礎）。那麼現在問題就是計算p^k的循環節，這個問題

可以進一步簡化成求G(p)*p^(k-1)。其中G(p)表示fib數列模素數p的循環節長度，所以現在的問題是如何求fib數列模一個

小於10^6的素數p的循環節長度。


求fib數列模p(p是素數)的最小循環節方法：

暴力枚舉fib[i]%p==0的最小的i，然後記錄pos=i+1，設a為fib[i]%p==0的前一位數，即a=fib[i-1]

那麼我們知道fib數列模p的最小循環節長度一定是pos*x，那麼也就是說現在要求一個最小的數x，滿足,

求出x後，那麼問題就解決了，剩下的就是合並等等。

#include <iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
#define maxn 1000005
bool isprime[maxn];
typedef long long ll;
ll prime[maxn],nprime;
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
void getprime()
{
    ll i,j;
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    nprime=0;
    for(i=2; i<maxn; i++)
        if(isprime[i])
        {
            prime[nprime++]=i;
            for(j=i*i; j<maxn; j+=i) isprime[j]=0;
        }
}
ll factor[100][2],tol;
void findfac(ll n)
{
    ll x=n,l=(ll)sqrt((double)n);
    tol=0,memset(factor,0,sizeof(factor));
    for(int i=0; prime[i]<=l; i++)
        if(x%prime[i]==0)
        {
            factor[tol][0]=prime[i];
            while(x%prime[i]==0) factor[tol][1]++,x/=prime[i];
            tol++;
        }
    if(x>1) factor[tol][0]=x,factor[tol++][1]++;
}
ll exp_mod(ll a,ll b,ll c)
{
    ll ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=ret*a%c;
        b>>=1,a=a*a%c;
    }
    return ret;
}
ll getPrimeLoop(ll p)//求一個素數的循環節
{
    ll pos=3,f1=1,f2=1,f3=2%p,k=1e9,l=(ll)sqrt((double)p-1);
    while(f3) f1=f2,f2=f3,f3=(f1+f2)%p,pos++;//找到第一個值是0的點
    for(ll i=1; i<=l; i++)
        if((p-1)%i==0)
        {
            if(exp_mod(f2,(p-1)/i,p)==1) k=min(k,(p-1)/i);
            if(exp_mod(f2,i,p)==1) k=min(k,i);
        }
    return pos*k;
}
ll solve(ll p,ll k)//求一個素數的k次方的循環節
{
    ll ans=getPrimeLoop(p);
    for(int i=0; i<k-1; i++) ans*=p;
    return ans;
}
int main()
{
    int t,ca=0;
    ll n,ans;
    getprime();
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%I64d",&n);
        findfac(n);
        ans=1;
        ll temp;
        for(int i=0; i<tol; i++)
            temp=solve(factor[i][0],factor[i][1]),ans=ans/gcd(ans,temp)*temp;
        printf("Case #%d: %I64d\n",++ca,ans);
    }
    return 0;
}



最後更新：2017-04-03 16:49:04

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